Proyecciones de las variables en el ACP

En relación con la representación de las variables en el análisis de componentes principales en el plano formado por los dos primeros ejes de inercia de la nube de las variables -coordenadas G_alfa(j)- me preguntan:

[…] en el grafico, cuando represento las variables, algunos vectores son mas largos que otros. ¿Por qué?

Y respondo:

El motivo de las diferentes longitudes es muy simple. Las variables Y^j están en una hiperesfera de radio 1, es decir, su módulo es 1, pero al hacerles una foto en dos dimensiones (es decir, al proyectarlas sobre el plano formado por los componentes principales) puede resultar que esa proyección tenga un módulo más pequeño. De hecho, recuerda que el cuadrado de G_alfa (j) -es decir, el cuadrado de la coordenada de la variable sobre el eje alfa- es el coseno cuadrado de la variable sobre el eje alfa. Si tomas los ejes 1 y 2, [G1(j)]^2+[G2(j)]^2 es el cuadrado del módulo de la proyección de Y^j sobre el plano 1-2 (vamos, el cuadrado de la longitud de la flecha que ves) y es también la suma de los cosenos cuadrados de la variable sobre los ejes 1 y 2 (es decir, la parte de la inercia de la variable que se recoge en los ejes 1 y 2). En resumen, la longitud de la flecha puede ir de 0 a 1 y el cuadrado de la longitud -que también ira de 0 a 1- es, precisamente, la suma de los cosenos cuadrados de la variable sobre los ejes elegidos, es decir, la parte de la inercia de la variable que se recoge en los ejes elegidos. A más corta la flecha, peor es la representación de las variable Y^j en el plano elegido.

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