Contribuciones y cosenos cuadrados

La matriz B en particular -o la matriz B*=BW en general- sirven para introducir dos nuevos conceptos de gran utilidad a la hora de interpretar los resultados de un análisis factorial. En concreto, mediante la obtención de la matriz de los cuadrados de B* es posible determinar:

  • la importancia de cada individuo en la explicación de la inercia a lo largo de una dirección determinada del espacio.
  • la importancia de una dirección del espacio en la explicación de la inercia de un individuo.

En efecto, como se detalla en este documento, el elemento genérico de la matriz de cuadrados de B* recoge la inercia del i-ésimo individuo en la dirección correspondiente al j-ésimo vector de la base ortonormal W.

Por su parte, la suma de los elementos de la i-ésima fila de dicha matriz es la inercia total del i-ésimo individuo mientras que la suma de los elementos de la j-ésima columna de la matriz es la inercia de la nube de individuos a lo largo del j-esimo vector de la base ortonormal W.

Con estos elementos podemos presentar los siguientes conceptos:

  • Se llama contribución de un individuo a la inercia a lo largo de una dirección al cociente entre la inercia del individuo a lo largo de la dirección y la inercia de la nube de individuos a lo largo de esa misma dirección. Para calcular las contribuciones de los individuos a la inercia de las distintas direcciones de W no hay más que obtener los cocientes entre los elementos de la matriz de cuadrados de B* y las sumas de las columnas. Naturalmente la suma de las contribuciones de todos los individuos a lo largo de un vector es igual a 1.
  • Se llama coseno cuadrado de un individuo respecto a una dirección al cociente entre la inercia del individuo a lo largo de esa dirección y la inercia total del individuo. Para calcular los cosenos cuadrados de los individuos respecto a las direcciones de W no hay más que obtener los cocientes de los elementos de la matriz de cuadrados de B* y las sumas de las filas. Naturalmente la suma de los cosenos cuadrados de un individuo respecto a todas las direcciones de la base ortonormal W es igual a 1.

Pero, ¿para qué sirven estos dos nuevos índices?

  • La contribución de un individuo a la inercia recogida a lo largo de una dirección es una medida de la importancia de dicho individuo en la inercia recogida en esa dirección del espacio. Habrá que prestar especial atención a aquellos individuos que presentan una contribución mayor que 1/n.
  • Por su parte, el coseno cuadrado de un individuo respecto a una dirección es una medida de la importancia de esa dirección para explicar la inercia del individuo. En otras palabras, si un individuo presenta un reducido coseno cuadrado respecto a una dirección del espacio eso significa que no podemos afirmar nada acerca de su verdadera posición en el espacio viendo su coordenada en dicha dirección ya que su inercia queda explicada en otras direcciones distintas de la que se está considerando.

Los conceptos de contribución y de coseno cuadrado de un individuo son de especial interés cuando la base ortonormal que se está considerando es la formada por los vectores propios unitarios de la matriz de inercia V.

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