La matriz de inercia depende de la base pero ¿los ejes de inercia?

Hemos visto ya que la forma de determinar las direcciones de máximo alargamiento de la nube de individuos -esto es, los sucesivos ejes de inercia- así como la cantidad de inercia recogida en estas direcciones pasa por la determinación de los valores y los vectores propios de una matriz de inercia. Sin embargo, también hemos visto que la matriz de inercia de un conjunto de individuos respecto a un punto depende de la base ortonormal que se haya elegido como sistema de referencia.

El hecho de que un cambio en la base ortonormal elegida implique una modificación en la matriz de inercia junto con el hecho de que la determinación de los ejes de inercia -y de las inercias explicadas a lo largo de ellos- pase por la determinación de los valores y vectores propios de dicha matriz puede inducir a pensar que los ejes de inercia y las inercias explicadas a lo largo de ellos dependen de la base ortonormal elegida. Como cabe esperar no hay que preocuparse: los ejes de inercia y las cantidades de inercia explicadas a lo largo de ellos no dependen de la base ortonormal elegida.

Planteado de otra manera: dada una matriz de inercia -sea V, referida a la base canónica, o V*, referida a una base ortonormal cualquiera- los elementos que componen la diagonal principal representan sucesivamente la inercia a lo largo del primer, segundo, tercero,… vectores de la base ortonormal. Así, si la base es la canónica, el primer elemento de la diagonal es la inercia “en horizontal“, el segundo elemento es la inercia “en vertical” y así sucesivamente. Si por el contrario la base ortonormal elegida es la compuesta por los sucesivos ejes de inercia ordenados en función de su importancia, la diagonal principal de la matriz de inercia referida a dicha base ortonormal recogerá la inercia a lo largo del eje principal de inercia, del segundo eje de inercia, del tercer eje de inercia y así sucesivamente. Sabemos, además, que estas inercias son, precisamente, los valores propios de la matriz de inercia V pero cabe preguntarse: si en vez de contar con la matriz de inercia V referida a la base canónica contamos con otra matriz V* referida a la base ortonormal W1,W2,…,Wk, ¿cuáles serán los valores propios de esta matriz? ¿y sus vectores propios?

Intuitivamente parecen claras dos cuestiones:

  • Las direcciones de alargamiento de la nube de individuos -es decir, los sucesivos ejes de inercia- no se van a ver modificados por una simple rotación del sistema de referencia elegido. Lo que sí es cierto es que, dado que la base ortonormal elegida ya no es la canónica, la expresión de dichas direcciones cambiará por lo que cabe esperar que los vectores propios de la matriz V* y los de la matriz V sean distintos aunque representen las mismas direcciones en el espacio.
  • La inercia explicada en cada una de las direcciones de alargamiento de la nube no se van a ver modificadas en absoluto. Esto es, los valores propios de la matriz V y los de la matriz V* deben ser los mismos.

En efecto, estas intuiciones son correctas.

Hemos visto ya que la matriz de inercia V* respecto a la base ortonormal W se puede calcular muy fácilmente si conocemos la matriz de inercia V respecto a la base canónica. En efecto, V*=W’VW.

Si postmultiplicamos ambos miembros por W’ tenemos que V*W’=W’VWW’ pero como la matriz W es ortonormal resulta que W’=W-1, con lo que se deduce que V*W’=W’V.

Ahora si postmultiplicamos ambos miembros por un vector propio u de la matriz V tenemos que V*W’u=W’Vu. Por ser u vector propio de V se puede escribir como lu. Así llegamos a que V*W’u=W’lu=lW’u. Es decir: si u es un vector propio de la matriz V asociado al valor propio l, entonces W’u es vector propio de la matriz V* asociado al valor propio l.

En resumen, los valores propios de las matrices de inercia V y V* son los mismos. Para obtener los vectores propios de la matriz V* basta premultiplicar los vectores propios de V por W’. De hecho, si disponemos los vectores propios de V como las columnas de una matriz U, las columnas de la matriz W’U son los vectores propios de la matriz V*. Así, la expresión de los ejes de inercia es diferente según cuál sea la base ortonormal elegida pero esta diferencia no se debe a que los ejes de inercia sean otros sino a que debido al cambio de sistema de referencia sus coordenadas han cambiado. Los ejes de inercia son los mismos, ya que la matriz W’ es simplemente la matriz de cambio de base de la base canónica a la nueva base ortonormal.

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