Y si cambiamos la base ortonormal, ¿qué ocurre con la matriz de inercia?

En un primer vistazo podría parecer que la matriz de inercia V de un conjunto de individuos respecto a un punto P -situados todos ellos en el espacio vectorial Rk– depende sólo de dos cosas:

  • De la masa de los individuos.
  • De la distancia de los individuos al punto de referencia P.

En efecto, la matriz de inercia V se puede expresar como B’B, siendo B la matriz de datos -corregida para que el punto P coincida con el origen de coordenadas- modificada con las raíces cuadradas de las masas de los individuos. Si V sólo depende de B y en B sólo aparecen las masas de los individuos y sus coordenadas la anterior afirmación parece acertada.

Sin embargo esto no es así. Las coordenadas de un punto en Rk no son absolutas sino que dependen de la base que se haya elegido como sistema de referencia en el espacio vectorial Rk. Lo habitual es que la base elegida sea la canónica pero esto no es necesariamente así. En otras palabras, existe un tercer elemento que determina el aspecto de la matriz de inercia V y no es otro que la base ortonormal que haya sido elegida como sistema de referencia.

La pregunta es obvia: ¿existe alguna forma sencilla de transformar la matriz V, calculada tomando como sistema de referencia la base canónica, en una matriz V*, que sea la matriz de inercia para otra base ortonormal cualquiera? La respuesta es afirmativa y la expresión, además, muy sencilla.

Supongamos que B es la matriz de datos corregida con las raíces de las masas para los individuos referida a la base canónica. Supongamos, asimismo, que disponemos de otra base ortonormal en Rk: {W1,W2,…,Wk}.

El producto de la matriz B por la matriz de dimensión kxk que resulta de situar uno a la derecha del otro los vectores W1,W2,…,Wk -a la que llamaremos matriz W– nos proporciona una nueva matriz nxk que no es otra que la matriz de las coordenadas de los individuos respecto a la nueva base corregida con las raíces cuadradas de las masas. Se ha realizado un cambio de base ortonormal.

Así, la matriz de inercia V* referida a la nueva base ortonormal se obtendra haciendo (B*)’B, o lo que es equivalente W'(B’B)W, es decir, W’VW.

Llegamos así al siguiente teorema:

Dado un conjunto I de n individuos situados en el espacio Rk cuya matriz de inercia respecto a un punto P referida a la base canónica del espacio Rk es V y dada otra base ortonormal W={W1,W2,…,Wk}, la matriz de inercia de dichos puntos respecto a P referida a la base W viene dada por V*=W’VW, siendo W la matriz kxk resultante de situar uno al lado del otro los vectores de la base W.

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