Apología de las matrices

En análisis de datos, la inercia de un conjunto I de n individuos respecto a un punto p a lo largo de un vector u situados todos ellos en el espacio vectorial Rk es función de las masas de los individuos, de las distancias que los separan del punto p y del vector elegido. La expresión de dicha inercia es, en concreto, la suma para todos los individuos del producto de su masa por el cuadrado de la proyección sobre el vector u del vector que va desde el individuo hasta el punto p.

Resulta difícil recordar la expresión concreta de dicha inercia si empleamos una notación basada en escalares. La cuestión se simplifica mucho si recurrimos a una herramienta más potente: las matrices.

Como se detalla en este documento:

Dado un conjunto de n individuos, al que llamaremos I, y un vector u ambos situados en el espacio vectorial Rk, la inercia de I respecto al origen de coordenadas a lo largo del vector u viene dada por Iu(I)=u’Vu, donde la matriz V -llamada matriz de inercia– se obtiene mediante el producto B’B, siendo B la matriz de los datos originales de los individuos modificada multiplicando las coordenadas de cada individuo por la raiz cuadrada de su masa.

El cálculo de la inercia de los individuos respecto al origen de coordenadas puede parecer inicialmente una limitación pero no lo es si consideramos que la inercia de los individuos respecto a un punto es invariante frente a las traslaciones por lo que siempre es posible comenzar cualquier cálculo de la inercia con una traslación del origen de coordenas al punto p de referencia. Esto hace que la fórmula Iu(I)=u’Vu sea utilizable en todos los casos.

La matriz V recoge toda la información relativa tanto a las masas de los individuos como a las distancias que los separan del punto de referencia p. La información respecto a la dirección a lo largo de la cual se desea calcular la inercia se encuentra en el vector u.

Evidentemente, la matriz V es una matriz simétrica cuya traza -suma de los elementos de la diagonal principal- es la inercia total de los individuos respecto al origen de coordenadas.

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